NÚMEROS DUPLICADOS, VACÍOS DISCONTÍNUOS Y VOTOS EN MESAS ELECTORALES

                                                           Dr. Victor Oxley (victoroxley@gmail.com)

Calcular la probabilidad de que un número entre 1 y 400 sea la suma de votos en alguna de las 12259 mesas electorales, presupone asumir una distribución de votos en cada mesa electoral.

Partiendo de que los votos en cada mesa electoral están distribuidos de manera uniforme e independiente entre los números del 1 al 400, entonces la probabilidad de que un número en particular sea la suma de votos en una mesa electoral específica sería 1/400, ya que hay 400 posibles resultados y cada uno tiene la misma probabilidad de ocurrir, y también necesitamos considerar todas las 12259 mesas posibles.

Asumimos que cada mesa electoral es independiente y tiene la misma probabilidad de sumar cualquier número entre 1 y 400, en este contexto podemos utilizar la distribución binomial para calcular la probabilidad de que al menos una mesa electoral tenga como suma de votos el número deseado.

La distribución binomial es un modelo probabilístico que calcula la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso.

El cálculo presupone que:

1. Hay un número fijo de ensayos, denotado por "n".

2. Cada ensayo es independiente del resto.

3. Cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso.

4. La probabilidad de éxito en cada ensayo se denota por "p" y se mantiene constante en todos los ensayos.

Así, la función de probabilidad de la distribución binomial se puede calcular utilizando la fórmula:

La misma fórmula puede ser expresada también con el siguiente enunciado:

P (X = k) = (n C k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Donde:

- P (X = k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos.

- (n C k) es el coeficiente binomial, que se calcula como n! / (k! * (n-k)!).

- p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.

- (1-p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.

- k es el número de éxitos deseado en los n ensayos.

En el caso que planteamos, la probabilidad de que al menos una mesa electoral tenga como suma de votos un número específico se puede calcular como el complemento de la probabilidad de que ninguna mesa electoral tenga ese número como suma de votos. Es decir:

P (al menos una mesa electoral con el número deseado) = 1 – P (ninguna mesa electoral con el número deseado)

La probabilidad de que ninguna mesa electoral tenga el número deseado como suma de votos se calcula utilizando la distribución binomial con n = 12259 (número de mesas electorales), k = 0 (ninguna mesa electoral tiene el número deseado) y p = 1/400 (probabilidad de éxito de que una mesa electoral tenga el número deseado).

P (ninguna mesa electoral con el número deseado) = (12259 C 0) * (1/400)^0 * (399/400)^12259

Con todo lo anterior, podemos calcular la probabilidad de al menos una mesa electoral con el número deseado como:

P (al menos una mesa electoral con el número deseado) = 1 – P (ninguna mesa electoral con el número deseado)

Para calcular la probabilidad de que el número 105 se repita en mesas diversas de 400 electores cada una, debemos considerar el número total de mesas electorales y la distribución de números en cada mesa. Si tenemos 12259 mesas electorales en total y cada mesa tiene 400 electores con números asignados de manera independiente y uniforme del 1 al 400, entonces podemos calcular la probabilidad utilizando el concepto de probabilidad condicional.

La probabilidad condicional es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento A dado que otro evento B ha ocurrido. Se denota como P(A|B), y se calcula utilizando la fórmula:

Donde:

- P (A|B) es la probabilidad condicional de A dado B.

- P (A ∩ B) es la probabilidad conjunta de A y B, es decir, la probabilidad de que ocurran ambos eventos A y B.

- P (B) es la probabilidad de que ocurra el evento B.

La probabilidad condicional permite ajustar la probabilidad de un evento basado en la información adicional proporcionada por otro evento.

Es importante tener en cuenta que la probabilidad condicional solo se puede calcular si la probabilidad de B es mayor que cero, lo que significa que el evento B debe haber ocurrido al menos una vez. Además, la probabilidad condicional puede cambiar si se conocen nuevos eventos o información adicional.

Con las consideraciones del caso, la probabilidad de que, por ejemplo, el número 105 se repita en al menos una mesa electoral se puede calcular como la probabilidad complementaria de que el número 105 no aparezca en ninguna mesa electoral.

La probabilidad de que el número 105 no aparezca en una mesa electoral específica de 400 electores es (399/400), ya que hay 399 números diferentes al 105 y 400 números posibles en total.

Entonces, la probabilidad de que el número 105 no aparezca en ninguna mesa electoral es:

(399/400)^12259

Finalmente, la probabilidad de que el número 105 se repita en al menos una mesa electoral de las 12259 mesas electorales sería el complemento de la probabilidad anterior:

1 - (399/400)^12259

La probabilidad de que una mesa en particular tenga exactamente 105 votos lo calculamos utilizando la fórmula de la distribución binomial:

P (105) = (n choose k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Donde:

n es el número de electores en la mesa (400 en este caso).

k es la cantidad de veces que queremos que se repita la cifra específica de 105 votos (155 en este caso).

p es la probabilidad de que la cifra específica sea la sumatoria total de votos en la mesa deseada (105/400 = 0.2625).

Utilizamos esta fórmula para calcular la probabilidad de que cada mesa tenga exactamente 105 votos y luego empleamos la distribución binomial para calcular la probabilidad de que se repita 155 veces:

P (105) = (400 choose 105) * (0.2625)^105 * (1 - 0.2625)^(400 - 105)

P_recurrencia = (12259 choose 155) * P (105)^155 * (1 – P (105))^(12259 - 155)

Esta distribución discreta tiene una distribución binomial:

B (n,p) = B (400; 0.26)

Esta distribución discreta tiene una función de probabilidad:

f(x_i) = p(xi)= p (x= 155) = 7.4376091596493E-9.

Tiene una función de distribución,

F(x_i) = p(X<=xi) = p(x<=155) = 0.99999999108507

En este caso, la probabilidad de que se repita exactamente 155 veces es representada por el valor 7.4376091596493E-9 (en notación científica, donde "E-9" representa la notación de potencia de 10. En este caso, "E-9" significa que el valor es igual a 7.4376091596493 multiplicado por 10 elevado a la potencia de -9). Este valor indica que la probabilidad es extremadamente baja pero no es prácticamente cero.

La probabilidad de que un número específico del 0 al 400, permitiendo que se repita, aparezca en un lugar aleatorio de una lista es de 401/401 = 1. En otras palabras, cada número del 0 al 400 tiene la misma probabilidad de aparecer en cualquier lugar de la lista.

Sí un número del 0 al 400 tiene la misma probabilidad de aparecer en cualquier lugar de una lista de 12.259, admitiendo repeticiones, entonces es seguro afirmar que el número aparecerá al menos una vez en una lista generada de esta manera.

La probabilidad de que el número no aparezca en una lista de 12.259 lugares es extremadamente baja, pero no es cero. Sin embargo, a medida que el número de lugares en la lista aumenta, la probabilidad de que el número no aparezca disminuye rápidamente. En este caso, la probabilidad de que el número no aparezca es (400/401)^12.259, que es extremadamente cercana a cero. En otras palabras, la probabilidad de que el número aparezca al menos una vez en una lista de 12.259 lugares es prácticamente del 100%.

Si las mesas de votación instaladas en las elecciones generales Paraguay 2023, tienen 400 electores habilitados cada una, y existen 12.259 mesas habilitadas en todo el país, y trece candidaturas para Presidente-Vicepresidente, esto quiere decir que es improbable que no dejen de sumar, potencialmente, a cualquiera de las candidaturas como votos, al menos uno de los números que van de 0 a 400, en por lo menos una mesa cualquiera de ellas, lo que es lo mismo decir que al menos en una mesa aparecerá por lo menos una vez, algún número de entre 0 y 400 para todas las candidaturas potencialmente. Pero como existen 13 candidaturas, no todas tendrán esa distribución señalada, por la razón de que algunas tienen muy pocos votos y con ello disminuye la probabilidad de que aparezca un numero de la lista (por otro lado es muy improbable, pero no imposible, que una candidatura sume 400 votos en la mesa), pues además estos números que aparezcan tienen la posibilidades de que se repiten y así restringen la probabilidad de que estas candidaturas con menor votación tengan esa distribución descripta. Ahora las candidaturas que aglutinan grandes masas de votantes si pueden tener la distribución señalada.

La ANR, para su candidatura de Presidente de la República, en el Departamento de Ñeembucú en el distrito de Villa Franca, en el local de votación de la Escuela nro. 276 Mcal. Francisco Solano López, en la mesa 2, obtuvo 333 votos, a la par de este hecho hubo 2 votos en blanco y 1 nulo, en total se registró en la mesa 380 votos. Este hecho según el TREP solo sucedió en una sola oportunidad para la ANR, es decir solo una vez se dio en el contexto de las 12.259 mesas esta cantidad de votos para la ANR (y según se ve para ninguna otra candidatura). Utilizando un método similar podemos rastrear los números y sus repeticiones. Al hacerlo nos encontramos que existen 86 lagunas, lo que es lo mismo decir que faltan 86 números, en la línea discreta que va entre el 0 hasta el 333. Lo números que faltan son:

233
234
236
237
238
240
241
244
245
247
248
250
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259
260
261
263
265
266
267
268
270
271
272
273
274
275
276
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278
279
280
281
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283
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287
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290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
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325
326
327
328
329
330
331
332

        

Resultados similares obtenemos para las candidaturas de Alegre-Núñez y Cubas-Valdés.

Un número del 0 al 333 tiene la misma probabilidad de aparecer en una lista de 12.259 lugares con repeticiones, por lo tanto, el número aparecerá al menos una vez. La razón de esto, ya se argumentó líneas atrás en un razonamiento que ahora volvemos a desplegar, es que la probabilidad de que un número específico del 0 al 333 aparezca en una lista de 12.259 lugares con repeticiones es igual a 1 - la probabilidad de que el número no aparezca en la lista. La probabilidad de que el número no aparezca en una sola posición de la lista es de (334/335), y como todas las posiciones son independientes entre sí, la probabilidad de que el número no aparezca en ninguna de las 12.259 posiciones de la lista es (334/335)^12259, es extremadamente cercana a cero. Por lo tanto, esas lagunas en la línea discreta matemática no debieron suceder, salvo que existiera alguna intervención humana manipuladora, que las haya borrado ex profeso y a la par duplicado otros, y con ello deja evidencia que la base de datos correspondiente esta fraguada.

Distribución de primeros dígitos con las frecuencias de cifras duplicadas

1	2	3	4	5	6	7	8	9	Total
1904	260	30887	402	57	68	70	83	99
1047	223	3295	415	50	66	79	80	98
191	216	339	420	57	69	74	8	94
153	212	339	462	50	65	71	8	9
127	271	311	414	54	63	7	8	9
148	236	328	423	51	66	7	8	9
135	266	309	467	5	67		8
118	251	334	464	5	63
111	246	374	437	5	6
144	232	335	456	5
135	293	384	425	5
155	310	347	429
161	293	373	451
163	271	356	432
160	295	369	458
179	290	373	433
190	295	365	455
184	275	314	461
188	294	334	458
199	259	314	414
198	269	309	443
193	261	308	431
197	266	37	422
149	230	34	410
173	271	32	418
179	232	35	415
149	201	30	407
170	239	30	46
159	215	30	48
135	200	3	48
163	222	3	41
116	222	3	48
125	203		47
140	24		45
118	26		4
135	25		4
117	29		4
122	25		4
136	22		4
127	26
103	2
110	2
110	2
107	2
107	2
17	2
16	2
18	2
12	2
14	2
15
13
16
15
13
13
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9523	8516	41234	12065	344	533	308	203	318	73044