Decir lo imposible: paradojas, funciones y niveles de realidad

                                                                                    Dr. Victor Oxley

En mis reflexiones en torno a la paradoja de Banach-Tarski, abrí una perspectiva que, desarrollada con cuidado, permite iluminar no solo un sorprendente resultado matemático, sino la naturaleza misma de las paradojas lógicas y su relación con los modelos formales que operamos, muchas veces sin conciencia de ello. Lo que comenzó como una indagación sobre una esfera que puede duplicarse por reordenamiento de sus partes derivó hacia una tesis de mayor alcance, las paradojas no son contradicciones en el lenguaje ni errores de razonamiento, sino síntomas de un choque entre ontologías de distinto nivel que el hablante mezcla sin advertirlo.

Recordemos brevemente en qué consiste la paradoja de Banach-Tarski. Demostrada por Stefan Banach y Alfred Tarski en 1924, afirma que es posible descomponer una esfera sólida en un número finito de partes y, reordenándolas mediante movimientos rígidos (rotaciones y traslaciones, sin estirar ni deformar), obtener dos esferas idénticas a la original, del mismo tamaño. El resultado es matemáticamente impecable, se sigue de los axiomas de la teoría de conjuntos, en particular del axioma de elección. Y sin embargo, choca frontalmente con nuestra intuición más elemental, en el mundo físico, la materia no se duplica por mucho que la cortemos y reordenemos sus pedazos.

¿Qué ocurre aquí? La tentación habitual es decir que nos enfrentamos a una paradoja, es decir, a una contradicción entre lo que la matemática demuestra y lo que la intuición nos dicta. Pero esa caracterización es insuficiente. No hay contradicción lógica alguna en Banach-Tarski; el resultado es perfectamente consistente dentro del sistema axiomático en el que se demuestra. La tensión no es interna al formalismo, sino entre el formalismo y otra cosa. ¿Qué otra cosa? Nuestra comprensión ingenua del espacio, del volumen, de la materia. Dicho de otro modo, la tensión se da entre dos ontologías distintas. La ontología del sentido común concibe el espacio como un receptáculo de objetos materiales que tienen volumen, que están formados por partes que también tienen volumen, y que no pueden duplicarse por simple reordenamiento. La ontología del continuo matemático, en cambio, concibe el espacio como un conjunto de puntos sin dimensión, donde existen subconjuntos tan intrincados que carecen de volumen definido (los llamados conjuntos no medibles), y donde el axioma de elección permite operaciones que desafían toda intuición física. Banach-Tarski es verdadero en la segunda ontología, pero inaplicable en la primera. La "paradoja" no está en el teorema, sino en el cruce ilegítimo de ambas ontologías, cuando alguien escucha el resultado y lo proyecta sobre el espacio físico, experimenta un choque.

Esta idea puede generalizarse, y para hacerlo resulta útil acudir a la teoría de funciones como modelo de comprensión de las relaciones de dependencia. Las funciones son el instrumento más elemental para representar cómo un objeto depende de otro, o cómo a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento de otro conjunto. Su comportamiento está regulado por teoremas precisos que anticipan, en el dominio abstracto, las posibilidades y límites de cualquier dominio que modelemos con ellas.

Consideremos la función más simple del mundo: M(x) = la madre de x. A cada persona x le asignamos su madre. Formalmente, tenemos una función M: P → P, donde P es el conjunto de las personas. Esta función tiene propiedades interesantes. Es unívoca: cada persona tiene una sola madre, lo que significa que M(x) tiene un único valor para cada x. No es sobreyectiva: no todas las personas son madres de alguien, esto es, existen y ∈ P tales que no hay ningún x con M(x) = y. Carece de puntos fijos: no existe x tal que M(x) = x, pues nadie es su propia madre. Formalmente, ¬∃x (M(x) = x).

Ahora bien, esta función puede servir para modelar no solo el parentesco, sino cualquier relación de dependencia unidireccional. Por ejemplo, podemos definir una función C(x) = el creador de x, donde C: E → E y E es el conjunto de las entidades creadas y creadoras. Trasladamos a ella las preguntas que antes nos hacíamos sobre la madre: ¿tiene esta función un punto fijo? Es decir, ¿existe un x tal que C(x) = x? Esto equivaldría a una entidad que se crea a sí misma. ¿Tiene la función un punto de partida? Esto es, ¿existe un x que no esté en la imagen de C, un creador no creado? Formalmente, ¿existe x ∈ E tal que para todo y, C(y) ≠ x? ¿Puede la cadena de creadores retroceder infinitamente? Esto es, ¿existe una sucesión infinita …, x₃, x₂, x₁ tal que C(x₁) = x₂, C(x₂) = x₃, …?

Lo fascinante es que estas preguntas, que parecen metafísicas o teológicas, tienen una formulación precisa en teoría de funciones, y las respuestas que esta proporciona iluminan la naturaleza de los problemas que plantean. La teoría de funciones nos dice que una cadena definida recursivamente necesita un punto de partida para estar bien fundada, pero también admite cadenas infinitas sin punto inicial si la función está definida sobre un conjunto infinito en ambas direcciones, como ocurre con los números enteros y la función sucesor S(n) = n + 1, que permite retroceder indefinidamente: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Nos dice que los puntos fijos existen bajo ciertas condiciones, como establece el teorema del punto fijo de Brouwer para funciones continuas en dominios compactos y convexos: toda función continua f: D → D con D homeomorfo a un disco cerrado tiene al menos un punto x tal que f(x) = x. Pero este teorema no garantiza puntos fijos en dominios discretos como el de las personas o las entidades creadas. Nos dice que la pregunta por la regresión infinita no es en sí misma falaz, hay regresiones benignas, como la sucesión 1, 1/2, 1/4, 1/8, … que tiende a 0 y tiene un límite, y regresiones malignas, como la sucesión 1, 2, 3, 4, … que no tiene límite. La teoría de funciones proporciona criterios para distinguir unos casos de otros.

Lo que la teoría de funciones hace, en suma, es convertir preguntas metafísicas en preguntas sobre estructuras formales. Cuando alguien pregunta "¿quién creó a Dios?", la teoría de funciones responde, "Estás preguntando si la función 'creador' tiene un punto fijo o un punto inicial. Dime cómo está definida la función, cuál es su dominio y qué propiedades tiene, y te diré si puede tenerlos." La pregunta no es ilegítima en sí misma, pero su respuesta depende enteramente del modelo que adoptemos, y ese modelo implica una ontología que debe ser explicitada.

Esta manera de proceder revela algo profundo, la teoría de funciones no es solo una herramienta técnica, sino un espejo anticipatorio de la estructura del lenguaje y el pensamiento. Si los argumentos y razonamientos se modelan mediante funciones, entonces cada teorema sobre funciones es una predicción estructural sobre cómo pueden (o no) funcionar nuestros actos lingüísticos. Las funciones son la sintaxis del sentido. Los teoremas sobre funciones son teoremas sobre lo que puede y no puede hacerse con el lenguaje.

Consideremos un ejemplo sencillo. El teorema de Cantor demuestra que no existe una función biyectiva entre los números naturales y los números reales. Esto es, no hay una función f: ℕ → ℝ que sea simultáneamente inyectiva (a cada natural le corresponde un real distinto) y sobreyectiva (todo real es alcanzado por algún natural). La demostración construye un número diagonal que difiere de cada f(n) en la n-ésima cifra decimal, mostrando que siempre queda un real fuera de la lista. Esta misma estructura es la que aparece en la paradoja del mentiroso, un enunciado que dice de sí mismo que es falso genera una situación donde ningún valor de verdad puede asignarse establemente. La función diagonal de Cantor anticipa, en el dominio de los números, la estructura de lo que luego será una paradoja semántica.

Otro ejemplo: el teorema de punto fijo de Kleene en teoría de la computabilidad muestra que para cualquier función computable f, existe un número e tal que el programa con código e se comporta como f(e). Esto es, existe un punto fijo en el espacio de los programas. Este teorema anticipa que la autorreferencia no es intrínsecamente patológica; puede ser constructiva (como en "esta oración tiene cinco palabras") o destructiva (como en el mentiroso), dependiendo de las condiciones del sistema. La función de Ackermann, definida recursivamente por A(0, n) = n + 1, A(m + 1, 0) = A(m, 1), A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)), crece más rápido que cualquier función recursiva primitiva. Esto anticipa que hay verdades inalcanzables por métodos limitados, lo que luego Gödel demostraría en el ámbito de la lógica, existen enunciados verdaderos pero indemostrables en sistemas formales consistentes y suficientemente expresivos. El teorema de Rice, que establece que cualquier propiedad no trivial del comportamiento de un programa es indecidible, anticipa el desfase entre sintaxis y semántica que Tarski formalizaría en su teorema de la indefinibilidad de la verdad, no hay un criterio puramente sintáctico para determinar la verdad semántica.

Lo que estos ejemplos muestran es que las funciones revelan la estructura profunda de lo que puede y no puede hacerse con el lenguaje. Cada vez que un lógico demuestra algo sobre funciones, está, sin saberlo, escribiendo un capítulo de una futura pragmática. Cantor no pensaba en el mentiroso, pero su diagonal es la misma que luego Gödel usaría para construir G, y que Tarski usaría para mostrar que la verdad no es definible. La función ya contenía todo.

Ahora bien, esta reflexión sobre las funciones y su capacidad para modelar relaciones de dependencia nos conduce de vuelta al problema ontológico planteado por Banach-Tarski. Pues lo que allí ocurre es que estamos modelando el espacio material (finito, intuible, discreto a escala humana) con el infinito continuo matemático (puramente abstracto, no intuible, denso). Y ese desajuste entre modelo y realidad es lo que produce el vértigo. Cuando afirmamos Banach-Tarski, estamos diciendo algo como, "El espacio material se comporta así." Pero el espacio material no se comporta así. Lo que se comporta así es el modelo matemático. El acto falla porque confundimos el mapa con el territorio, o más precisamente, porque pretendemos que el territorio tenga propiedades que solo tiene el mapa.

Esta misma estructura se reproduce en otros casos. En la paradoja del mentiroso, modelamos el lenguaje cotidiano (que opera con una ontología ingenua de referencia y verdad) con una semántica formal cerrada (que exige metalenguaje y prohíbe la autorreferencia total). En la paradoja de Russell, modelamos la definición ingenua de conjuntos (donde toda propiedad define un conjunto) con una teoría axiomática (que restringe la existencia para evitar contradicciones). En la pregunta por el creador, modelamos la cadena causal (que en el mundo físico tiene siempre un término anterior) con una función recursiva (que puede tener puntos fijos o regresiones infinitas). En todos los casos, el problema es el mismo, aplicamos un modelo formal a un dominio que no es el suyo, y el choque ontológico resultante lo experimentamos como paradoja.

La realidad está estratificada en niveles (físico, químico, biológico, social, etc.), y cada nivel tiene sus propias leyes, propiedades y categorías. El error categorial —o error de referencia— ocurre cuando se atribuyen propiedades de un nivel a objetos de otro nivel. Lo que aquí se propone es que las paradojas lógico-lingüísticas son un caso particular de ese error de referencia entre niveles ontológicos, solo que en este caso los niveles en conflicto no son solo los de la realidad material, sino también los de la realidad formal y la del lenguaje cotidiano.

Formalicemos esta idea. Sean O₁, O₂, …, Oₙ distintos niveles ontológicos, cada uno con su propio dominio de objetos Dₖ y su propio conjunto de propiedades Pₖ admisibles. Un acto de habla que predica la propiedad π ∈ Pⱼ sobre un objeto o ∈ Dₖ es ontológicamente bien formado si y solo si j = k, esto es, si la propiedad pertenece al mismo nivel ontológico que el objeto. Un acto de habla para el cual j ≠ k es un cruce ilegítimo de niveles, y su resultado será, o bien un sinsentido, o bien una paradoja, o bien una afirmación que, aunque formalmente correcta en algún sistema, resulta inaplicable o incomprensible en el nivel del objeto.

La paradoja del mentiroso puede verse entonces como un cruce entre el nivel del lenguaje cotidiano (donde las frases refieren a estados de cosas) y el nivel de la semántica formal (donde la verdad se define mediante predicados de verdad). La paradoja de Russell cruza el nivel de la definición ingenua de conjuntos con el nivel de la teoría axiomática. Banach-Tarski cruza el nivel del espacio físico intuible con el nivel del continuo matemático. La pregunta por la primera causa cruza el nivel de la causalidad empírica con el nivel de las funciones recursivas.

Lo que llamamos "paradoja" no es, entonces, una contradicción en el lenguaje ni un error de razonamiento. Es el síntoma de un salto ontológico no advertido. El hablante opera un modelo formal sin saberlo, y lo aplica a un dominio que no es el suyo. La paradoja es el momento en que el modelo se revela como modelo, chocando contra el límite de lo modelado.

Esta tesis tiene consecuencias importantes. En primer lugar, disuelve la pretensión de "resolver" las paradojas mediante ajustes sintácticos o semánticos. Las paradojas no se resuelven, se diagnostican, mostrando el cruce de niveles que las genera. En segundo lugar, explica por qué los matemáticos conviven pacíficamente con Banach-Tarski mientras que el público se escandaliza, los matemáticos saben qué ontología están usando, mientras que el público la desconoce y proyecta la ontología cotidiana sobre el resultado formal. En tercer lugar, abre una vía para comprender otros fenómenos contraintuitivos, como los de la mecánica cuántica o la relatividad, donde los resultados formales chocan con la intuición del sentido común precisamente porque cruzan niveles ontológicos.

La potencia explicativa de esta perspectiva se manifiesta también en su capacidad para diagnosticar falsos problemas. Cuando alguien pregunta "¿Dios puede crear una piedra tan pesada que ni él pueda levantarla?", la tradición teológica se enreda. Nuestro marco permite decir, estás mezclando la ontología de la omnipotencia (donde todo es posible) con la ontología de la física (donde las piedras tienen peso y las fuerzas tienen límites). La pregunta no tiene respuesta porque no hay un solo mundo donde ambas ontologías coexistan. No es que la pregunta sea estúpida, sino que presupone una ontología mixta que no existe.

Lejos de ser un artificio retórico, esta interpretación pragmática y ontológica de las paradojas constituye una auténtica ampliación del horizonte comprensivo. No se limita a renombrar el fenómeno, sino que revela su estructura subyacente como fenómeno de la acción y del cruce de niveles. La lógica dice qué falla (la consistencia, la verdad, la definibilidad). La pragmática dice cómo falla (el acto se bloquea a sí mismo). La ontología dice por qué falla, porque se han mezclado niveles que no debían mezclarse.

La mente humana puede reconocer esos límites y, desde fuera del sistema, comprender por qué el acto falla. Esa comprensión no elimina la paradoja, pero la disuelve como problema, transformándola en revelación. Las paradojas no son errores que haya que extirpar, sino síntomas necesarios de los límites de nuestras prácticas lingüísticas y de la estratificación de la realidad que el lenguaje, en su potencia unificadora, tiende a ignorar.

Así entendido, el enfoque aquí esbozado no es un juego de palabras, sino una propuesta filosófica que, al conectar la tradición analítica con la filosofía del lenguaje ordinario, con la teoría de funciones y con la ontología de niveles, promete iluminar aspectos de las paradojas que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.

Referencias

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