Dr. Victor Oxley
La tradición filosófica ha abordado las paradojas lógicas —esa especie de vértigo del pensamiento que emerge en enunciados como "esta afirmación es falsa" o en la definición del conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos— desde dos grandes perspectivas. La primera, de índole semántica, las diagnostica como contradicciones en el nivel del significado: una frase que no puede ser ni verdadera ni falsa sin generar un círculo vicioso, o una definición que parece designar un objeto y sin embargo conduce a una antinomia. La segunda, de carácter sintáctico, las atribuye a una construcción defectuosa del lenguaje, proponiendo remedios como la prohibición de la autorreferencia o la jerarquización de tipos lógicos para extirpar de raíz la posibilidad misma de tales anomalías. Ambas aproximaciones, sin embargo, tratan las paradojas como enunciados problemáticos, algo anda mal con lo que se dice, o con el modo en que se dice. Esta distinción entre el producto lingüístico (la oración) y el proceso que lo genera (el acto de enunciación) remite a la clásica diferenciación trazada por Strawson entre una oración y su uso en contextos particulares. Pero cabe preguntarse si esta focalización en el producto lingüístico no descuida precisamente el proceso del que emerge.
Para fundamentar esta tesis resulta ineludible acudir a la teoría de los actos de habla desarrollada por John Langshaw Austin en su obra póstuma Cómo hacer cosas con palabras. Las ideas centrales de esta obra habían sido anticipadas por Austin en sus conferencias de la BBC de 1958, posteriormente publicadas como "Performative Utterances".
Austin parte de una constatación tan sencilla como revolucionaria, decir algo es, con frecuencia, hacer algo. Cuando en las circunstancias apropiadas pronuncio "sí, acepto" en una ceremonia nupcial, no estoy describiendo un matrimonio, sino contrayéndolo; cuando digo "te prometo que vendré", no estoy informando sobre una promesa, sino ejecutándola. A estos enunciados los denomina realizativos o performativos, y su rasgo distintivo es que no se evalúan en términos de verdad o falsedad, sino de felicidad o infelicidad. Un acto de habla es feliz cuando se cumplen ciertas condiciones procedimentales, contextuales y de sinceridad; es infeliz o desafortunado cuando alguna de esas condiciones se quebranta. Austin distingue además tres dimensiones en todo acto de habla, el acto locutivo (el acto de decir algo, con un sentido y una referencia), el acto ilocutivo (la acción que realizamos al decir algo, como prometer, ordenar o afirmar) y el acto perlocutivo (los efectos que producimos por decir algo, como convencer, asustar o irritar). Esta arquitectura conceptual nos proporciona las herramientas para abordar las paradojas desde una perspectiva pragmática. El enfoque se inscribe en la tradición inaugurada por Grice, quien mostró que el significado no se agota en el contenido semántico de las expresiones, sino que involucra principios de racionalidad comunicativa que regulan la interacción lingüística. Sin embargo, mientras Grice se ocupó de los mecanismos ordinarios de la conversación, aquí nos adentramos en sus límites patológicos.
Sea ⟨A,p⟩ la representación de un acto de habla, donde A es el tipo de acto ilocutivo (afirmar, definir, demostrar, etc.) y p es la proposición que constituye su contenido locutivo. Definimos una función de éxito F(A,p,c) que toma el valor 1 si el acto se realiza felizmente en el contexto c, y 0 en caso contrario. Las condiciones de felicidad de Austin pueden expresarse como un conjunto de requisitos R1, R2, …, Rn tales que:
F(A,p,c) = 1 ⟺ ⋀ i = 1n i=1 Ri(A,p,c)
donde cada Ri especifica una condición procedimental, contextual o de sinceridad. Un acto fallido es aquel en que F(A,p,c) = 0 por violación de al menos una de las condiciones. Este marco general será aplicado a continuación a cada paradoja, especificando las condiciones particulares que cada tipo de acto debe satisfacer.
Consideremos en primer lugar la paradoja del mentiroso, formulada en el enunciado "esta afirmación es falsa". Desde la semántica, nos encontramos ante un callejón sin salida, si es verdadera, es falsa; si es falsa, es verdadera. Pero si atendemos al acto de habla que se ejecuta, la cuestión se ilumina de otro modo. Quien emite ese enunciado pretende realizar un acto ilocutivo de afirmación, esto es, sostener algo como verdadero. Sin embargo, el contenido de su afirmación se refiere al valor de verdad del propio acto que está ejecutando. Es como si alguien dijera "te prometo que no estoy prometiendo nada", la fuerza ilocutiva se anula a sí misma. El acto no puede completarse porque las condiciones de felicidad de la afirmación —entre ellas, la posibilidad de que lo afirmado sea verdadero o falso sin interferir con el acto mismo de afirmar— resultan violadas. No estamos, pues, ante una proposición contradictoria, sino ante un acto fallido, la pretensión de afirmar se estrella contra su propia autorreferencia.
Aplicando formalismos anteriores, sea Afirmar(p) el acto ilocutivo de afirmar la proposición p. La condición de felicidad específica para la afirmación, que debe incorporarse al conjunto {Ri} para este tipo de acto, incluye:
RAf: V(p) ∈ {verdadero, falso} y p ≠ “Afirmar(p)”
donde V(p) es el valor de verdad de p. En la paradoja del mentiroso, p = “V(p) = falso”. La autorreferencia semántica hace que la evaluación de V(p) dependa del propio acto de afirmación, generando:
V(p) = verdadero ⇒ V(p) = falso
V(p) = falso ⇒ V(p) = verdadero
Lo que viola RAf al impedir una asignación estable de valor de verdad. Por tanto, F(Afirmar,p,c) = 0 : el acto es fallido. Esta imposibilidad de asignación estable no es sino la manifestación pragmática del teorema de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad, ningún lenguaje semánticamente cerrado puede contener su propio predicado de verdad sin generar contradicción. La paradoja del mentiroso es, desde esta óptica, el síntoma de esa imposibilidad estructural, y el fracaso del acto de afirmar es su correlato pragmático.
Algo análogo ocurre con la paradoja de Russell. La definición "sea R el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos" parece impecable desde un punto de vista descriptivo. Pero si la consideramos como un acto de habla, específicamente como un acto de definición, advertimos su carácter problemático. Definir es un acto ilocutivo mediante el cual estipulamos el significado de un término o, en el contexto de la teoría de conjuntos, postulamos la existencia de un objeto con ciertas propiedades. En este caso, la propiedad definitoria ("no pertenecerse a sí mismo") se aplica al propio objeto que se está definiendo. La definición intenta construir un conjunto cuyas condiciones de pertenencia incluyen al conjunto mismo, generando una circularidad que impide que el acto definicional se complete. El fracaso no es del conjunto R —que simplemente no existe—, sino del acto que pretendía definirlo. La paradoja de Russell revela así los límites pragmáticos de la definición, no toda propiedad bien formada lingüísticamente puede servir de base para un acto definicional exitoso.
RDef : ∃R∀x(x ∈ R ↔ φ(x))
En la paradoja de Russell, φ(x) = x ∉ x. Si el acto fuera exitoso, existiría R tal que: ∀x(x ∈ R ↔ x ∉ x) Instanciando x = R obtenemos:
R ∈ R ↔ R ∉ R
Lo que constituye una contradicción lógica ⊥. Por tanto, la condición existencial no puede satisfacerse: ¬∃R∀x(x ∈ R ↔ x ∉ x). El acto definicional falla porque la propiedad φ es impredicativa respecto del acto mismo. Formalmente, F(Definir,R, φ) = 0. Nótese la analogía estructural que se da con lo que formalizamos lineas atrás, la autorreferencia (semántica en el mentiroso, definicional en Russell) impide que el acto satisfaga sus condiciones de felicidad, aunque la naturaleza del acto sea diferente.
El caso de los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel es, sin duda, el más sutil y revelador. En su artículo fundacional de 1931, Gödel construyó mediante una ingeniosa numeración un enunciado que afirma su propia indemostrabilidad, demostrando así que todo sistema formal consistente y lo suficientemente expresivo es necesariamente incompleto. El enunciado G, construido mediante la ingeniosa técnica de la numeración de Gödel, afirma de sí mismo "no soy demostrable". Desde una perspectiva semántica, G resulta ser verdadero pero indemostrable dentro del sistema, no hay paradoja, sino incompletitud. Ahora bien, si adoptamos la óptica pragmática, G se nos presenta como un enunciado que versa sobre la posibilidad de realizar un acto determinado, el acto de demostrar. G afirma que el acto de demostrarlo a él mismo no puede ejecutarse. Y en efecto, cualquier intento de demostración conduce a una contradicción, si se demostrara, entonces sería falso, violando la condición de que solo lo verdadero es demostrable en un sistema consistente. El acto de demostración, aplicado a G, es imposible. Gödel no ha construido una paradoja, sino que ha exhibido un límite intrínseco de la acción demostrativa. Su teorema demuestra que, en todo sistema formal lo suficientemente expresivo, existe al menos un acto de demostración que no puede realizarse con éxito, y ese acto es precisamente aquel que el enunciado G describe como imposible. La incompletitud se revela entonces como un fenómeno pragmático, la acción de demostrar tiene límites internos que ningún refinamiento del sistema puede eliminar.
Extendiendo las ideas formales anteriores al ámbito metamatemático, sea S un sistema formal que cumple las condiciones del primer teorema de incompletitud (consistente, recursivamente axiomatizable y que contiene suficiente aritmética). Definimos el acto de demostración DemostrarS(ψ) como la existencia de una prueba formal de ψ en S. Gödel construye un enunciado G tal que:
G ↔ ¬DemostrarS(G)
Por el teorema, si S es consistente, entonces G es verdadero pero no demostrable:
V(G) = verdadero y ¬DemostrarS(G)
Desde la perspectiva pragmática, G es un enunciado que afirma la imposibilidad de realizar el acto de demostrarlo. Cualquier intento de ejecutar DemostrarS(G) conduce a una contradicción con la consistencia de S. Luego:
F(DemostrarS,G) = 0 por necesidad estructural.
El teorema demuestra que ¬∃S∀ψ(V(ψ) → DemostrarS(ψ)). Esto es, no existe sistema alguno en el que todos los actos de demostración de enunciados verdaderos sean realizables. A diferencia de lo expuesto líneas atrás, donde el fracaso era local (un acto específico falla), aquí el teorema muestra un fracaso universal, ningún sistema puede garantizar el éxito de todos sus actos demostrativos. La incompletitud es, por tanto, la expresión formal de un límite pragmático necesario de la acción demostrativa.
Esta lectura pragmática de las paradojas permite trazar una distinción fundamental entre tipos de autorreferencia. Siguiendo la sistematización de Searle, que desarrolló y formalizó la teoría austiniana distinguiendo entre reglas constitutivas y regulativas de los actos de habla, podemos entender las condiciones de felicidad como reglas constitutivas cuya violación no produce un acto imperfecto, sino la ausencia misma del acto.
La autorreferencia semántica —aquella en la que un enunciado predica sobre su propio valor de verdad— genera paradoja y conduce al fracaso del acto ilocutivo de afirmar, como se formalizó anteriormente. La autorreferencia sintáctica —como en "esta oración tiene cinco palabras", donde el enunciado describe su propia forma— es perfectamente inocua, pues no interfiere con la fuerza ilocutiva. La autorreferencia pragmática, por último, es aquella en la que un acto de habla se refiere a la posibilidad de ejecutar ese mismo tipo de acto; cuando las condiciones de esa referencia generan circularidad, el resultado es el fracaso del acto, como se ejemplificaron en formalismos anteriores. Esta tipología muestra que la peligrosidad de la autorreferencia no reside en una propiedad mística de la circularidad, sino en el tipo de acción que se ve afectada y en las condiciones que la rigen.
Llegados a este punto, es preciso enfrentar una objeción que podría formularse contra toda esta construcción, ¿no estaremos ante un mero ardid letrístico, un juego de palabras que se limita a rebautizar las paradojas como "actos fallidos" sin aportar verdadera comprensión? ¿No será que simplemente hemos cambiado la etiqueta "contradicción semántica" por la de "acto ilocutivo infeliz", dejando intacto el misterio? La objeción es seria y merece una respuesta concluyente. Una refutación contundente de esta acusación se encuentra en el trabajo del filósofo Dieter Wandschneider, quien ha analizado en profundidad la estructura pragmática de las antinomias lógicas.
Wandschneider demuestra que el núcleo de las paradojas reside en lo que denomina un "autocondicionamiento negativo", una estructura en la que un concepto posee, desde el punto de vista semántico, un carácter negativo, pero desde su estatus pragmático como concepto, un carácter positivo. En su análisis, Wandschneider muestra que esta ambivalencia no es una mera curiosidad lógica, sino que revela una estructura ontológica fundamental, "la paradoja no es un error, sino la manifestación necesaria de un límite constitutivo de la racionalidad discursiva" (Wandschneider, 1993, p. 245). Esta ambivalencia es irresoluble si se permanece en el nivel semántico, pero se vuelve comprensible cuando se incorpora la dimensión pragmática. Como vimos en formalismos anteriores estos han exhibido precisamente esta ambivalencia, en cada caso, la autorreferencia genera una estructura en la que el contenido semántico (lo que se dice) y la fuerza pragmática (lo que se hace) entran en conflicto, haciendo que el acto fracase necesariamente. No se trata, por tanto, de un simple cambio de vocabulario, sino de la identificación de una estructura ontológica de la acción lingüística que las aproximaciones puramente lógicas no pueden capturar.
La potencia explicativa de esta perspectiva se manifiesta en varios frentes. En primer lugar, explica por qué la autorreferencia no es intrínsecamente patológica, solo lo es cuando afecta a las condiciones de éxito del acto que se ejecuta, como mostramos formalmente en contraste con la autorreferencia sintáctica inocua. En segundo lugar, permite comprender por qué las soluciones puramente sintácticas (como la teoría de tipos de Russell) logran evitar las paradojas pero no explicarlas, son técnicas profilácticas, no diagnósticos. El formalismo aquí desarrollado, al incorporar explícitamente la dimensión pragmática en la función F(A,p,c), proporciona un diagnóstico estructural que la mera sintaxis no puede ofrecer. En tercer lugar, y esto es quizá lo más relevante, abre una vía de conexión entre la lógica matemática y la filosofía del lenguaje que hasta ahora había permanecido inexplorada. Los teoremas de Gödel, leídos desde esta óptica, no son solo resultados sobre la verdad y la demostrabilidad, sino sobre la naturaleza de la acción demostrativa misma, sobre sus límites constitutivos. Hemos formalizado esta conexión, mostrando que el teorema de incompletitud puede interpretarse como la demostración de que, para todo sistema S, existe al menos un acto demostrativo F(DemostrarS, G) = 0. La mente humana puede reconocer esos límites y, desde fuera del sistema, comprender por qué el acto falla; la máquina, que solo ejecuta reglas sintácticas, choca con el límite sin poder trascenderlo. Esta diferencia, que apunta a lo más profundo de la cognición, no sería accesible sin el cambio de marco conceptual que aquí se propone.
Lejos de ser un artificio retórico, la interpretación pragmática de las paradojas constituye, pues, una auténtica ampliación del horizonte comprensivo. No se limita a renombrar el fenómeno, sino que revela su estructura subyacente como fenómeno de la acción. Las paradojas dejan de ser vistas como anomalías del lenguaje que es necesario extirpar, y pasan a ser comprendidas como síntomas necesarios de los límites de nuestras prácticas lingüísticas. La lógica dice qué falla (la consistencia, la verdad); la pragmática dice cómo falla (el acto se bloquea a sí mismo). El aparato formal introducido a lo largo de este escrito ha permitido articular esta distinción con precisión, la función F y las condiciones Ri especifican las condiciones de éxito; la imposibilidad de satisfacerlas para ciertos actos autorreferentes revela la estructura del fracaso. Ambas perspectivas son necesarias, y la segunda no sustituye a la primera, sino que la complementa y la fundamenta. Así entendido, el enfoque aquí esbozado no es un juego de palabras, sino una propuesta filosófica sustantiva que, al conectar la tradición analítica con la filosofía del lenguaje ordinario, promete iluminar aspectos de las paradojas que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.
La mente humana puede reconocer esos límites y, desde fuera del sistema, comprender por qué el acto falla; la máquina, que solo ejecuta reglas sintácticas, choca con el límite sin poder trascenderlo. Esta diferencia remite a la distinción trazada por Brandom entre seguir una regla ciegamente y comprender su normatividad, la máquina se limita a ejecutar el algoritmo; el agente humano puede evaluar la regla misma y reconocer sus limitaciones constitutivas. Esta diferencia, que apunta a lo más profundo de la cognición, no sería accesible sin el cambio de marco conceptual que aquí se propone.
Referencias
Austin, J. L. (1962). How to Do Things with Words. Oxford University Press.
Austin, J. L. (1979). "Performative Utterances". En Philosophical Papers (3ª ed.). Oxford University Press.
Brandom, R. (1994). Making It Explicit: Reasoning, Representing, and Discursive Commitment. Harvard University Press.
Gödel, K. (1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173-198.
Grice, H. P. (1975). "Logic and Conversation". En P. Cole & J. Morgan (eds.), Syntax and Semantics, Vol. 3: Speech Acts. Academic Press.
Searle, J. R. (1969). Speech Acts: An Essay in the Philosophy of Language. Cambridge University Press.
Strawson, P. F. (1950). "On Referring". Mind, 59(235), 320-344.
Tarski, A. (1936). "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen". Studia Philosophica, 1, 261-405.
Wandschneider, D. (1993). "Explaining the Paradoxes of Logic – The Nub of the Matter and its Pragmatics". En PRAGMATIK, Vol. IV. Hamburg.
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