El Artefacto y la mirada. Sobre la estructura oculta de las matemáticas, el extravío de su enseñanza y el fantasma que nunca se fue

                                                                                     Dr. Victor Oxley

I

Hay una pregunta que me acompaña desde hace años, y que ninguno de mis maestros supo responder: ¿qué es lo que realmente enseñamos cuando enseñamos matemáticas?

No pregunto por los contenidos del currículum, ni por las técnicas didácticas, ni por la psicología del aprendizaje. Pregunto por la naturaleza misma de eso que llamamos "saber matemáticas". Pregunto por el objeto. Por la cosa. Por aquello que, supuestamente, transmitimos.

Durante mucho tiempo creí que enseñaba números, operaciones, fórmulas, teoremas. Creí que mi tarea consistía en hacer que los niños aprendieran a sumar correctamente, a resolver ecuaciones, a demostrar propiedades geométricas. Y todo eso hacía, ciertamente. Pero una mañana, una alumna de once años me preguntó, mientras intentábamos sumar fracciones: "Profe, ¿esto es como lo de sumar números normales, pero con trocitos?"

Y entonces lo comprendí.

Lo que ella había visto, con la claridad que solo tienen los que aún no han sido domesticados por la jerga técnica, era que dos operaciones que yo presentaba como distintas eran, en el fondo, la misma. Ella había captado la unidad bajo la apariencia de la diversidad. Había hecho, sin saberlo, el gesto fundamental del pensamiento matemático: el reconocimiento de una estructura que se repite.

Yo, en cambio, con mi título universitario y mis años de experiencia, había estado ocultando esa unidad durante todo el curso. No por mala voluntad, sino por ceguera. Porque a mí tampoco me habían enseñado a ver.

II

Las matemáticas, como he llegado a comprender, no son una colección de técnicas inconexas. Son un sistema de estructuras que se encarnan en dominios muy diversos, pero que conservan su forma a través de todos ellos.

La más sencilla de estas estructuras, la que aparece ya en los primeros pasos de la aritmética escolar, es la del grupo abeliano. Un conjunto de elementos, una operación que los combina, y unas pocas reglas: que la operación sea cerrada, que haya un elemento neutro, que cada elemento tenga un inverso, que el orden de los factores no altere el producto. Eso es todo.

Pero ocurre que esa misma estructura, esa misma disposición de relaciones, es la que encontramos cuando sumamos números enteros, cuando sumamos vectores en física, cuando combinamos intervalos musicales, cuando operamos con bits en un ordenador. En todos esos casos, la operación es distinta, los objetos son distintos, el contexto es distinto. Pero la forma de la relación es idéntica.

Las matemáticas, entonces, funcionan como una caja de herramientas abstractas. Cada estructura matemática es un artefacto que ha sido diseñado —o descubierto, la disputa es antigua— para capturar un tipo de relación que aparece una y otra vez en los más diversos ámbitos de la realidad y del pensamiento. Una vez que tenemos el artefacto, podemos transportarlo: lo usamos aquí para entender este fenómeno, lo usamos allá para entender aquel otro. La estructura es la misma; los objetos sobre los que opera cambian.

Eso es lo que mi alumna había intuido. Había reconocido el artefacto.

III

Pero esta manera de entender las matemáticas —como artefactos transferibles entre dominios cognitivos— choca frontalmente con la forma en que se enseñan en las escuelas.

En la escuela, las matemáticas se presentan como una sucesión de bloques inconexos. En marzo se estudian los números enteros y la suma. En abril, las fracciones y sus operaciones. En mayo, la geometría plana. En junio, las ecuaciones. Cada bloque tiene sus propias reglas, sus propios procedimientos, su propio vocabulario. Y nunca, en ningún momento, se tienden puentes entre ellos. Nunca se dice: "esto que estamos haciendo ahora es, en realidad, la misma operación que hacíamos en marzo, pero aplicada a objetos distintos". Nunca se muestra que sumar fracciones y sumar números enteros son la misma cosa, el mismo artefacto, la misma estructura.

El resultado es que los alumnos aprenden gestos, no significados. Aprenden a ejecutar algoritmos, pero no a comprender qué están haciendo. Aprenden recetas para cada situación, pero no aprenden a reconocer la situación misma. Y cuando se enfrentan a un problema nuevo, no saben qué herramienta aplicar, porque nunca se les ha enseñado que las herramientas viajan, que las estructuras se repiten, que lo aprendido en un contexto sirve para otro.

Las matemáticas se convierten así en un laberinto de reglas arbitrarias, en un conjunto de compartimentos estancos que hay que memorizar sin entender. Y los alumnos, naturalmente, las odian. ¿Quién no odiaría algo que no tiene sentido?

IV

Ahora bien, cuando expongo estas ideas, no pocos interlocutores me alertan sobre un fantasma: la llamada "Matemática Moderna". Me advierten que no caiga en el error de aquellos que, en las décadas de 1960 y 1970, pretendieron revolucionar la enseñanza introduciendo desde la escuela primaria la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y el formalismo más abstracto. "Abajo Euclides", fue su lema. Y ya sabemos cómo acabó aquello: en un desastre pedagógico de proporciones históricas.

Y yo les agradezco la advertencia, pero les señalo algo que suele pasarse por alto: ese fantasma no es tal. No es un espectro del pasado que evocar para asustarnos. Es un huésped aún instalado en nuestras escuelas.

Porque la Matemática Moderna, como movimiento explícito, murió. Pero sus restos, sus fragmentos, su esqueleto conceptual, siguen poblando los currículos, los libros de texto y las prácticas de muchos maestros que ni siquiera saben que reproducen sus postulados.

Ahí está, disfrazada de "pensamiento lógico-matemático" en educación infantil, la obsesión por la teoría de conjuntos vacía de significado: clasificar por colores y formas durante años, como si eso fuera matemáticas y no un entrenamiento trivial. Ahí está, en la secundaria, la introducción prematura del lenguaje formal, de la simbología sin contexto, de las definiciones que se aprenden de memoria sin que respondan a problema alguno. Ahí está, sobre todo, la expulsión silenciosa de la geometría de su lugar central, sustituida por un álgebra formalista que los alumnos no comprenden porque no tiene anclaje en la intuición espacial.

La Matemática Moderna no fracasó y desapareció. Fracasó y se enquistó. Sus ideas, tamizadas por sucesivas reformas, por libros de texto que copian lo que hicieron otros libros de texto, por maestros que enseñan como les enseñaron, se convirtieron en el sustrato invisible de lo que hoy entendemos por "currículo matemático escolar".

V

Pero aquí surge una pregunta incómoda, y es la que da título a esta reflexión: ¿fue realmente la Matemática Moderna un error pedagógico?

Durante años he respondido que sí, sin matices. Pero cuanto más lo pienso, más me doy cuenta de que la respuesta es más compleja.

Porque si juzgamos la Matemática Moderna como propuesta para la enseñanza escolar, la respuesta es sí: fue un error. Y fue un error no porque sus ideas fueran falsas —no lo eran—, sino porque ignoraron una verdad fundamental sobre cómo aprendemos los humanos.

Pero si la juzgamos como programa intelectual, como manera de entender la matemática misma, entonces la cosa cambia. Porque lo que la Matemática Moderna descubrió —que las matemáticas son un sistema de estructuras, que las mismas formas aparecen en dominios distintos, que hay una unidad profunda bajo la diversidad de las apariencias— eso es verdad. Y es una verdad poderosa.

El error no estuvo en las ideas. El error estuvo en dárselas a los niños en su estado puro, sin haber construido antes el terreno donde pudieran arraigar.

La Matemática Moderna quiso enseñar a los niños la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas, el lenguaje formal. Quiso que comprendieran la noción de grupo antes de haber sumado mil veces, antes de haber construido figuras, antes de haberse enfrentado a problemas verdaderos. Quiso construir la casa por el tejado.

Y el resultado fue previsible: los niños no entendían nada. Porque las estructuras matemáticas, cuando se presentan en abstracto, sin el apoyo de la intuición, sin el anclaje en lo concreto, sin el trabajo previo con los problemas que les dieron origen, son como palabras en un idioma que no se ha aprendido. Se pueden repetir, se pueden memorizar, pero no significan nada.

Ahí estuvo el error pedagógico. En pretender que lo abstracto podía preceder a lo concreto. En creer que el rigor podía sustituir a la intuición. En olvidar que, para los humanos, lo general solo se alcanza después de haber recorrido muchos particulares.

Pero atención. Eso no significa que las estructuras no deban enseñarse nunca. Significa que deben enseñarse de otra manera. No como punto de partida, sino como punto de llegada. No como revelación, sino como reconocimiento.

Porque cuando un alumno ha sumado miles de veces, cuando ha operado con números naturales, con fracciones, con vectores, con intervalos musicales, cuando ha resuelto problemas en todos esos dominios, entonces está en condiciones de que alguien le diga: "Fíjate, todo esto que has estado haciendo es, en el fondo, la misma operación. Tiene las mismas propiedades. Es el mismo artefacto, aplicado a objetos distintos." Y entonces, en ese momento, la estructura se revela. No como una imposición externa, sino como la forma de algo que ya conocía.

Eso no es Matemática Moderna. Es, si se quiere, su contrario: es la estructura emergiendo de la práctica, no imponiéndose a ella.

VI

Y aquí quiero detenerme en un punto que me parece crucial, y que la Matemática Moderna nunca entendió: la geometría euclidiana tradicional es, quizá, el dominio más rico para desarrollar esta mirada estructural sin caer en el formalismo vacío.

La geometría, bien enseñada, permite plantear verdaderos problemas. No problemas de "aplica la fórmula y obtén el resultado", sino problemas que exigen razonamiento, visualización, estrategia, y que admiten múltiples caminos hacia la solución. Un problema de construcción con regla y compás es un pequeño laboratorio de pensamiento. Exige imaginar, probar, equivocarse, corregir. Exige, en suma, pensar.

Pero además, la geometría está atravesada por estructuras profundas que esperan ser reconocidas. Cuando un niño gira un triángulo y observa que la figura resultante es la misma pero en otra posición, está operando dentro de un grupo de transformaciones, aunque nadie le haya hablado de grupos. Cuando descubre que el teorema de Pitágoras se cumple en cualquier triángulo rectángulo, está asomándose a la noción de invariante. Cuando estudia la semejanza, está preparando el terreno para el álgebra lineal, para las homotecias, para la proporcionalidad.

La geometría es el lugar donde la intuición y la estructura pueden encontrarse. Donde lo concreto y lo abstracto se dan la mano. Donde el alumno puede, sin abandonar el mundo que ve y toca, empezar a vislumbrar las formas puras que lo organizan.

Abandonarla, como quisieron los modernos, fue un error. Mantenerla, pero enseñarla como un conjunto de recetas sin conexión con el resto de las matemáticas, es otro error. Lo que hace falta es habitarla con una nueva mirada.

VII

Pero esa mirada no puede ser la del alumno. Esa mirada tiene que ser, primero, la del maestro.

Porque el problema de fondo, el que está en la raíz de todo esto, es que los maestros no estamos formados para ver las estructuras. A nosotros también nos enseñaron las matemáticas como un catálogo de temas inconexos. A nosotros también nos ocultaron las conexiones. A nosotros también nos formaron como operarios de algoritmos, no como artesanos del pensamiento estructural.

Un maestro que no sabe que la suma de números enteros y la suma de fracciones son manifestaciones de una misma estructura no puede mostrar esa unidad. Un maestro que no sabe que los movimientos en el plano forman un grupo no puede guiar a sus alumnos hacia el descubrimiento de las propiedades de ese grupo. Un maestro que no conoce las grandes ideas que organizan la disciplina está condenado a repetir los gestos que aprendió, sin comprender su significado.

La formación del profesorado de matemáticas es, en este sentido, el eslabón débil de toda la cadena. No se trata de que los maestros sepan más matemáticas en el sentido cuantitativo —más temas, más técnicas, más fórmulas—. Se trata de que las conozcan de otra manera. Se trata de que adquieran una visión estructural de la disciplina. Se trata de que, desde su atalaya, puedan ver el paisaje completo, no solo el pequeño fragmento que enseñan cada día.

Y esto no implica bajar las estructuras al aula. No implica enseñar teoría de grupos a niños de primaria. Implica, simplemente, que el maestro tenga los elementos para, en el momento oportuno, hacer la pregunta adecuada: "¿A qué se parece esto? ¿Dónde hemos visto algo así?". Implica que pueda señalar la analogía sin necesidad de nombrar el concepto. Implica que pueda encender la luz sin tener que explicar cómo funciona la lámpara.

VIII

He pasado años dándole vueltas a estas ideas. He leído, he discutido, he observado, he enseñado. Y cada vez estoy más convencido de que el núcleo del problema está en esa distancia entre lo que las matemáticas son —un sistema de estructuras transferibles— y lo que la escuela enseña —un repertorio de técnicas inconexas—.

Las matemáticas tradicionales, las de siempre, las de Euclides y Diofanto, las de los números y las figuras, son un tesoro. Encierran siglos de pensamiento, de problemas resueltos, de caminos explorados. Pero ese tesoro se ha convertido, en manos de una enseñanza miope, en un museo de piezas sueltas, en una colección de objetos que se contemplan sin entender su lugar en el conjunto.

Lo que hace falta es una nueva mirada. Una mirada que, sin abandonar lo tradicional, sea capaz de ver lo estructural. Una mirada que, desde el conocimiento de las grandes ideas, ilumine las pequeñas. Una mirada que, sin caer en el formalismo prematuro, muestre las conexiones profundas.

Esa mirada no es fácil de adquirir. Exige formación, exige reflexión, exige tiempo. Pero es la única que puede devolver a las matemáticas su sentido. Es la única que puede hacer que los alumnos, como aquella niña de once años, empiecen a ver que sumar fracciones es como sumar números normales, pero con trocitos. Que empiecen a reconocer el artefacto.

IX

Al final, todo esto se reduce a una cuestión de fidelidad. Fidelidad a lo que las matemáticas realmente son.

Las matemáticas no son un conjunto de reglas arbitrarias. Son un intento de capturar la forma de lo real. Son el esfuerzo, milenario y colectivo, por identificar los patrones que se repiten, las estructuras que subyacen, las relaciones que persisten a través del cambio.

Cuando enseñamos matemáticas, deberíamos estar enseñando eso. Deberíamos estar mostrando cómo la mente humana ha ido construyendo artefactos para apresar lo que de regular hay en el mundo. Deberíamos estar guiando a los alumnos en el reconocimiento de esos artefactos, en su manejo, en su transferencia de un dominio a otro.

En lugar de eso, enseñamos algoritmos. Enseñamos gestos vacíos. Enseñamos a ejecutar sin comprender.

Y luego nos preguntamos por qué los alumnos odian las matemáticas. Y luego nos preguntamos por qué, cuando salen de la escuela, son incapaces de aplicar lo aprendido a situaciones nuevas. Y luego nos preguntamos por qué, en una sociedad cada vez más tecnificada, hay tan poca gente capaz de pensar matemáticamente.

Las respuestas están a la vista. El problema no son los alumnos. El problema no son las matemáticas. El problema somos nosotros, los maestros, que no hemos sabido estar a la altura de lo que enseñamos.

X

He hablado de estructuras, de artefactos, de miradas. He tratado de mostrar que las matemáticas son un sistema de formas que viajan, que se transfieren, que aparecen una y otra vez bajo distintas apariencias. He señalado el extravío de una enseñanza que oculta esas conexiones y reduce la disciplina a un repertorio de gestos vacíos. He matizado el juicio sobre la Matemática Moderna, reconociendo su valor intelectual y señalando su error pedagógico.

Pero todo esto quedaría incompleto si no señalo el nudo concreto de nuestra situación presente: el currículo escolar está habitado por los restos de la Matemática Moderna, pero sin la conciencia de que lo está. Enseñamos teoría de conjuntos en infantil porque "desarrolla el pensamiento lógico", sin preguntarnos si realmente lo hace. Enseñamos un álgebra desencarnada en secundaria porque "es la base", sin preguntarnos base de qué. Hemos arrinconado la geometría, hemos sustituido el problema por el ejercicio, hemos cambiado la aventura de pensar por la seguridad de aplicar.

Y mientras tanto, los alumnos siguen sin ver las conexiones. Siguen creyendo que sumar números enteros, sumar fracciones y sumar vectores son tres operaciones distintas. Siguen sin reconocer el artefacto.

La propuesta que he esbozado no es, pues, una innovación. Es, en muchos sentidos, una restauración. Se trata de volver a poner en el centro lo que nunca debió abandonarse: la intuición geométrica, el problema auténtico, el asombro ante el hecho de que las mismas formas aparezcan en los lugares más insospechados. Se trata de recuperar la geometría como territorio de exploración, de devolverle su lugar. Se trata, en fin, de desalojar al inquilino que nunca se fue, para que podamos habitar de nuevo la casa con una mirada limpia.

Eso es, me parece, la tarea. No inventar nada nuevo. Solo recordar lo que siempre estuvo ahí, pero que nos enseñaron a no ver. Y enseñar, a quienes nos acompañan, a mirar.

XI

Hace años, una alumna me preguntó si sumar fracciones era como sumar números normales, pero con trocitos. Yo no supe qué responder en ese momento. Pero esa pregunta cambió mi vida.

Desde entonces, he dedicado mis esfuerzos a comprender lo que ella había intuido. He tratado de adquirir esa mirada que me faltaba. He tratado de convertirme en el maestro que ella merecía.

No sé si lo he logrado. Pero sé, al menos, hacia dónde hay que mirar.

Hay que mirar hacia las estructuras. Hay que mirar hacia los artefactos. Hay que mirar hacia esa unidad profunda que late bajo la diversidad de las apariencias. Y hay que enseñar a mirar.

Porque eso, me parece, es lo más importante que puede hacer un maestro: enseñar a mirar. Enseñar a ver lo que no se ve a simple vista. Enseñar a reconocer, en lo cotidiano y en lo trivial, la huella de lo profundo y lo universal.

Las matemáticas son eso: una escuela de mirada. Una invitación a descubrir que, bajo la superficie del mundo, hay formas que se repiten, patrones que persisten, estructuras que conectan. Y que nosotros, con nuestras pequeñas herramientas, podemos reconocerlas.

Eso es lo que mi alumna hizo aquella mañana. Y eso es lo que, desde entonces, trato de hacer yo.